Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)

Transcript

1 Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη βάση αυτή. Στην ίδια βάση να βρεθεί η αναπαράσταση του τελεστή των στροφών. Απάντηση. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα s =, m s =+, s =, m s = (1) τα οποία προσδιορίζονται από τις εξισώσεις ˆ S z ± =± ± και ˆ 1 1 S ± = ( + 1) ± () Η αναπαράσταση του τελεστή Sˆz στη βάση αυτή είναι πολύ εύκολο να βρεθεί: Sˆ z + Sˆ ˆ z + + Sz 1 0 = σ z Sˆ ˆ (3) 0-1 z + S z Για την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx και ˆ 1 S ( ˆ x = S+ + S ˆ ) και Sˆ θα πρέπει πρώτα να γράψουμε ˆ 1 S ( ˆ = S Sˆ + ) i και αφού παρατηρήσουμε ότι να βρούμε: Sˆ + = Sˆ = 0, Sˆ = +, Sˆ + = (4) + + 1

2 Sˆ + Sˆ ˆ + + S 0 i = σ Sˆ ˆ i 0 + S (5) Sˆ x + Sˆ ˆ x + + Sx 0 1 = σ x Sˆ ˆ (6) 1 0 x + S x Οι τρεις πίνακες σ x 0 1 = i 1 0, σ =, σ z = (7) i ονομάζονται πίνακες του Pauli και έχουν ορισμένες ιδιότητες οι οποίες είναι πολύ χρήσιμες και οι οποίες μπορούν να διαπιστωθούν αμέσως: { } σ, σ = σσ + σσ = δ σ = σ = σ = 1, σσ = σσ,... (8) i j i j j i ij x z x x σ x, σ = iσ z σxσ = iσ z, + κυκλικές εναλλαγές (9) det( σ i ) = 1, tr( σ i ) = 0 (10) Μπορούμε επίσης να δείξουμε πολύ εύκολα την ταυτότητα: ( σ a)( σ b) = a b + iσ ( a b) όπου a και b τυχαία ανύσματα του τριδιάστατου χώρου. (11) Πράγματι: ( σ a)( σ b) = ab x x + ab + ab z z + σxσ ab x ab x ( ) ( ) ( ab ab ) σσ ( ab ab) + σσ + = z z z z x z x x z +

3 = a b+ iσ a b + iσ a b + iσ a b = a b+ iσ a b ( ) ( ) ( ) ( ) z x z x Πριν προχωρήσουμε ας κάνουμε μερικές επισημάνσεις: Στη βάση που συζητάμε τα ίδια τα ανύσματα της βάσης μπορούν να αναπαρασταθούν με τις στήλες (ή γραμμές): = χ + και = χ (1) 1 (, ) ( 1,0) χ +, ( +, ) = ( 0,1) χ = (13) Ένα τυχαίο καταστατικό άνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί με μια στήλη που αναφέρεται ως spinor με δύο συνιστώσες: + α c+ α = χ = c+ χ+ + c χ α c (14) (, ) ( +, ) + + α + α α = c c χ = c χ + c χ (15) Ο όρος «spinor» θα διευκρινιστεί στη συνέχεια. Όπως είναι γνωστό αν διαθέτουμε μια βάση { α } μπορούμε, με τη χρήση της σχέσης πληρότητας α α α = Î, να γράψουμε για οποιονδήποτε τελεστή: Aˆ = α α Aˆ α α (16) αα, 3

4 Αν εφαρμόσουμε την παραπάνω σχέση για τους τελεστές Sˆk και τη βάση (1), θα βρούμε ˆ S z = + + ( ) i, S ˆ = ( + + ), S ˆ x = ( ) (17) Παρά τον συμβολισμό στη σχέση (11) οι πίνακες σ k δεν συμπεριφέρονται ως συνιστώσες ανύσματος: Σε μια στροφή του συστήματος δεν αλλάζουν. Όπως έχουμε δει ως άνυσμα συμπεριφέρεται η αναμενόμενη τιμή ˆ α Sk α χ σk (15) = χ (18) και επομένως είναι η ποσότητα χ σχ η οποία συμπεριφέρεται ως άνυσμα όταν το σύστημά μας στρέφεται. Μπορούμε τώρα να δούμε την αναπαράσταση του τελεστή των στροφών ˆ i Dn (, ϕ ) = exp ϕn S (19) Από τις σχέσεις (3), (5) και (6) είναι προφανές ότι: ˆ ϕ Dn (, ϕ ) exp i nσ (0) Αν αναπτύξουμε το εκθετικό θα πάρουμε p ˆ ( i) ϕ Dn (, ϕ ) p= 0 p! p ( n σ ) p (1) 4

5 Από τη σχέση (11) βλέπουμε ότι = = 1 ( ) n σ n () και επομένως p 1 αν p = k = (3) n σ αν p = k + 1 ( n σ ) Μετά την (3) η σχ. (1) παίρνει τη μορφή: k k k+ 1 k ˆ ( 1) ϕ ( 1) ϕ Dn (, ϕ ) 1 i( n σ) = k= 0 ( k)! k= 0 (k+ 1)! ϕ ϕ = 1cos( ) in σ sin( ) (4) Αν μάλιστα χρησιμοποιήσουμε τις σχ. (7) μπορούμε να γράψουμε: cos ϕ in sin ϕ z ( inx n )sin ϕ + ˆ Dn (, ) ϕ (5) ϕ ϕ ϕ ( inx n)sin cos + inzsin Μπορούμε τώρα να διευκρινήσουμε την έννοια του όρου spinor με δύο συνιστώσες: Είναι μια ποσότητα χ με δύο συνιστώσες (όπως φαίνεται στη σχέση (14)) η οποία όταν το φυσικό σύστημα στραφεί κατά γωνία ϕ γύρω από τον άξονα n θα αλλάξει με τον πίνακα (5): ϕ ϕ ϕ cos inzsin ( inx + n)sin c + c+ = c ϕ ϕ ϕ c ( inx n)sin cos inzsin + (6) 5

6 Μια πολύ σημαντική (και πειραματικά ελέγξιμη) συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης φαίνεται από τις προηγούμενες σχέσεις: ˆ 1 0 Dn (, π ) 0 1 (7) Η τελευταία σχέση μας λέει ότι αν το σύστημά μας το οποίο ας πούμε ότι περιγράφεται από το άνυσμα α στραφεί κατά γωνία π γύρω από οποιαδήποτε κατεύθυνση δεν θα επιστρέψει στην αρχική του κατάσταση: Θα περιγράφεται από την κατάσταση α. Σαν εφαρμογή θα χρησιμοποιήσουμε τα προηγούμενα αποτελέσματα για να βρούμε τα ιδιοανύσματα των τελεστών S ˆ, S ˆ. x Έτσι τα ανύσματα ˆ 1 1 Sx sx =± =± sx =± γύρω από τον άξονα κατά ± π /: μπορούν να βρεθούν αν στρέψουμε τα ± 1 ˆ π iπ ˆ iπ 1 s (, ) exp exp x =± = D ± ± = S ± σ 4 0 = = = ± ± 1 ( ) + ± (8) Τα ανύσματα ˆ 1 1 S s = ± =± s =± άξονα x κατά γωνία π /: θα βρεθούν αν στρέψουμε τα ± γύρω από τον 1 ˆ π iπ ˆ iπ 1 s (, ) exp exp =± = D x ± = ± Sx ± ± σ = 1 1 ± i = = + ± (9) ( i ± i 1 0 ± i ) Βοήθημα θεωρίας. 6

7 Ο χώρος των θέσεων και ο χώρος του spin. Ας ονομάσουμε S τον απειροδιάστατο διανυσματικό χώρο Hilbert ο οποίος καλύπτεται πλήρως από τα ιδιοανύσματα του τελεστή της θέσης που αποτελούν ένα πλήρες και ορθοκανονικό σύνολο: 3 r r = δ ( r r ), d r r r = Iˆ Αυτό σημαίνει ότι οποιοδήποτε άνυσμα του χώρου S μπορεί να γραφεί με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των εν λόγω ιδιοανυσμάτων: 3 3 ψ = drr rψ = drr ( r) ψ Στο πλαίσιο της Κβαντικής Μηχανικής η συνάρτηση ψ ( r ) σωμάτιο να βρεθεί στη γειτονιά σημείου με συντεταγμένες ( ) (1) () είναι το πλάτος πιθανότητας ένα r = x,, z Όταν ένα σωμάτιο έχει και spin έχει και επιπλέον «βαθμούς ελευθερίας». Χρειάζονται, δηλαδή, επιπλέον πληροφορίες ώστε να προσδιορίσουμε πλήρως την κατάστασή του. Για να περιγράψουμε μαθηματικά αυτήν την (φυσική) πραγματικότητα κάνουμε δύο βήματα. Πρώτα θεωρούμε και έναν άλλο, διαφορετικό, διανυσματικό χώρο S I ο οποίος καλύπτεται πλήρως από τις ιδιοκαταστάσεις sm, των s +1τέτοιες καταστάσεις και επομένως ο χώρος ˆ S και S. Για δεδομένο spin s υπάρχουν ˆz S έχει s + 1διαστάσεις. Τα διανύσματα sm, αποτελούν πλήρες και ορθοκανονικό σύνολο στον χώρο αυτό: Έτσι ένα τυχαίο στοιχείο του S I γράφεται : s I smsm,, = δ mm, sm, sm, = Iˆ (3) m= s Οι συντελεστές a m να έχει την τιμή m. s s m (4) m= s m= s χ = sm, sm, χ = sma, αντιστοιχούν στο πλάτος πιθανότητας η προβολή του spin στον τρίτο άξονα 7

8 Το δεύτερο βήμα είναι να ορίσουμε το λεγόμενο ευθύ γινόμενο (direct product) ανυσμάτων των χώρων S και SI Ψ ψ χ = χ ψ (5) (συχνά γράφουμε απλώς : Ψ ψ χ = χ ψ ) Είναι τώρα προφανές ότι το σύνολο των στοιχείων (5) συγκροτούν έναν νέο διανυσματικο χώρο οι διαστάσεις του οποίου είναι το γινόμενο των διαστάσεων των δύο χώρων S και SI : Για να προσδιορίσετε οποιοδήποτε στοιχείο του χρειάζεστε όλες τις τιμές ψ ( r ) και για κάθε μία απ αυτές όλες τις τιμές { a m}. { } Ο «μεγαλύτερος» χώρος που φτιάξαμε συμβολίζεται S = S S I (6) και λέγεται ευθύ γινόμενο των επιμέρους χώρων. Θα συμφωνήσουμε ότι η κατάσταση ενός σωματιδίου spin αντιστοιχεί στα διανύσματα του χώρου S. Θα το καταλάβετε αυτό αν σκεφτείτε ότι για ένα τέτοιο σωματίδιο δεν επαρκεί η συνάρτηση ψ ( r ) για να προσδιορίσετε πλήρως την καταστασή του. Χρειάζεστε και τους συντελεστές τιμή m. a m δηλαδή τα πλάτη πιθανότητας αν μετρηθεί η προβολή του spin να βρεθεί η Η βάση στο χώρο S πρέπει να κατασκευαστεί, φυσικά, με τον κανόνα (5). Ας πάρουμε για παράδειγμα (το οποίο μπορεί να γενικευτεί άμεσα) την περίπτωση s =1/. Στην περίπτωση αυτή βάση στη χώρο S I μπορούν να είναι τα 1 1 s =, m= +, 1 1 s =, m= (7) Έτσι η βάση στο χώρο S θα είναι τα r,1 r + και r, r (8) Η βάση αυτή θα είναι πλήρης και ορθοκανονική: 8

9 r, σ r, σ = δ( r r ) δ, d r r, σ r, σ = I σσ σ 3 ˆ ( σ = 1, ) (9) Χρησιμοποιώντας τη βάση (9) μπορούμε να γράψουμε: Ψ = σ 3 drr, σ r, σ Ψ (10) Οι συντελεστές στο ανάπτυγμα αυτό είναι: r,1 Ψ = r + χ ψ = aψ( r ), r, Ψ = r χ ψ = aψ( r) + (11) Όπου a ± = ± χ είναι το πλάτος πιθανότητας το σωμάτιο να βρεθεί πολωμένο στη θετική (ή την αρνητική) διεύθυνση του άξονα z. Συνδυάζοντας τις (10) και (11) γράφουμε: 3 3 a+ Ψ = drr ( a+ + + a ) ψ( r) drr ψ( r) a (1) Στο τελευταίο βήμα αναπαραστήσαμε: 1 0 +, 0 1 Μετά την προηγούμενη ανάλυση είναι φανερό ότι ένα σωμάτιο με spin δεν αντιπροσωπεύεται από μια συνηθισμένη συνάρτηση αλλά από εναν spinor: ψ+ ( r) a+ a+ ψ( r) = ψ ( r ) = ψ ( r) a a ψ( r) (13) Άσκηση 1. Έστω σωμάτιο με spin 1/ και n μοναδιαίο άνυσμα σε τυχαία κατεύθυνση. 9

10 (α) Να βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις του τελεστή ˆ n S με ιδιοτιμές ±. (β) Έστω τώρα ότι το σωμάτιο βρίσκεται σε κάποια από αυτές τις ιδιοκαταστάσεις. Προσδιορίστε την πιθανότητα σε μια μέτρηση της προβολής του spin στον άξονα z να βρούμε ±. Απάντηση (α) Το ερώτημα αυτό μπορεί να απαντηθεί με περισσότερους από έναν τρόπους. Ένας από αυτούς είναι με την απευθείας κατασκευή των ιδιοκαταστάσεων του τελεστή Ας ξεκινήσουμε θεωρώντας ότι το μοναδιαίο άνυσμα σχηματίζει γωνία β με τον άξονα ότι η πολική του γωνία είναι α : ˆ n S. z και n = x cosα sin β + sinαsin β + zcos β (1) Επομένως ο τελεστής ˆ n S μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: ˆ i 1 0 n S n σ = cosαsin β + sinαsin β + cos β = 1 0 i iα cos β e sin β = iα e sin β cos β () Έτσι, το πρόβλημά μας είναι ο προσδιορισμός των ιδιοτιμών και των ιδιοανυσμάτων του πίνακα που εμφανίστηκε στην τελευταία σχέση : iα cos β e sin β a a λ iα = e sin β cos β b b (3) 10

11 Για να έχει λύση το σύστημα (3) θα πρέπει iα cos β λ e sin β det = 0 λ =± 1 iα e sin β cos β λ (4) β i Για λ = 1 μπορούμε αμέσως να βρούμε ότι b= atan( ) e α και επομένως το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα είναι 1 ϕ+ = a β (5) i tan( ) e α Η σταθερά κανονικοποιήσης θα βρεθεί από την β ϕϕ + + = 1 a = cos ( ) και επομένως (και με τη συνήθη αυθαιρεσία σε ό,τι αφορά στη φάση) βρίσκουμε β cos( ) β 1 β iα 0 β β iα ϕ+ = = cos( ) + sin( ) e = cos( ) χ+ + sin( ) e χ β iα 0 1 sin( ) e (6) Το καταστατικό άνυσμα το οποίο αντιπροσωπεύεται από την (6) είναι β β i ϕ cos( ) sin( ) e α + = + + (7) 11

12 και μπορούμε αμέσως να διαπιστώσουμε ότι ˆ n S ϕ+ = ϕ+ (8) Αν επαναλάβουμε τη διαδικασία για την ιδιοτιμή λ = 1 θα πάρουμε το άνυσμα β β i ϕ sin( ) cos( ) e α = + (9) για το οποίο μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ˆ n S ϕ = ϕ (10) Στα παραπάνω αποτελέσματα μπορούμε να καταλήξουμε και με άλλο τρόπο : Μπορούμε να στρέψουμε το άνυσμα 1 + και να το φέρουμε στη διεύθυνση που ορίζει το μοναδιαίο 0 άνυσμα n. Είναι τότε προφανές ότι το άνυσμα ϕ + που θα προκύψει θα πρέπει να είναι ˆ ιδιοκατάσταση του τελεστή n S με ιδιοτιμή /. Η απαιτούμενη στροφή θα πραγματοποιηθεί αν πρώτα κάνουμε μια στροφή κατά γωνία β γύρω από τον άξονα και στη συνέχεια μια στροφή κατά γωνία α γύρω από τον άξονα z : ˆ ˆ α β 1 ϕ+ = Dz (, α) D (, β) + exp( i σ3)exp( i σ) = 0 1 cos( α ) i sin( α ) cos( β ) i sin( β ) = 0 = σ3 σ 1

13 α α β β cos( ) i sin( ) 0 cos( ) -sin( ) 1 = = α α β β 0 0 cos( ) + i sin( ) sin( ) cos( ) e iα / β cos( ) (11) sin( ) = iα / β e Το τελευταίο αποτέλεσμα (πέρα από μια φάση ) συμπίπτει, όπως θα περιμέναμε, με το αποτέλεσμα (6).Για να βρούμε το ιδιοάνυσμα ϕ δεν έχουμε παρά να επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία με τη γωνία β να αντικαθίσταται από τη γωνία β π. (β) Όπως κι αν απαντήσουμε στο προηγούμενο ερώτημα μπορούμε να δούμε αμέσως ότι αν το σύστημά μας βρίσκεται σε κάποια από τις καταστάσεις ϕ ±, η πιθανότητα σε μια μέτρηση της προβολής του spin στον άξονα είναι : z να βρούμε ± / β β + ϕ+ = cos ( ), ϕ+ = sin ( ) β β + ϕ = sin ( ), ϕ = cos ( ) (1) 13

14 Άσκηση. (*) Ένα σωμάτιο με spin 1/ βρίσκεται σε κατάσταση η οποία είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή Sˆz με ιδιοτιμή. Ποια είναι η πιθανότητα να βρούμε ± αν μετρήσουμε την προβολή του spin σε μια τυχαία κατεύθυνση n ; (Υπ.: Την απάντηση την βρήκατε ήδη στην προηγούμενη άσκηση) Άσκηση 3. (*) Ένα σωμάτιο με spin 1/ βρίσκεται στην κατάσταση 1 1+ i χ = + + Σε ποιες χωρικές κατευθύνσεις η προβολή του spin έχει αβεβαιότητα μηδέν ; Υπ.: Αυτό το οποίο ψάχνετε είναι η διεύθυνση n για την οποία το άνυσμα χ είναι ˆ ιδιοκατάσταση του τελεστή Sˆn n S. Πράγματι. Σε μια τέτοια κατεύθυνση θα έχετε : 14

15 ( ) S χ S χ χ S χ Δ = ˆ ˆ = 0 n n n Γράψτε ˆ nz nx in n S nxσx + nσ + nzσz = και λύστε την εξίσωση nx + in nz nz nx in 1/ 1/ = ε nx in n + z (1 + i) / (1 + i) / ( ε = ± 1) θα βρείτε ε 1 1 nx = n =, nz = 0 n = ε,,0 15

16 16